ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების ხარისხების ვიზუალიზაცია

გაიგეთ, როგორ იქცევიან კომპლექსური რიცხვების ხარისხები, როცა მათ გრაფიკულ ეფექტს კომპლექსურ სიბრტყეზე უყურებთ.

კავშირი i, squared, equals, minus, 1-სა და i-ს მდებარეობას შორის

კომპლექსური რიცხვების სწავლა დავიწყეთ i რიცხვის შექმნით, რომელიც i, squared, equals, minus, 1 ტოლობას აკმაყოფილებს და შემდეგ იგი გამოვსახეთ რიცხვითი ღერძის მიღმა 0-ზე ერთი ერთეულით ზემოთ განთავსებით. წინა სტატიაში შემოთავაზებული ვიზუალური გამოსახულებებით ვხედავთ, თუ რატომ არის ეს წერტილი ასეთი ბუნებრივი მდებარეობა რიცხვისათვის, რომლის კვადრატი არის minus, 1.

დიახ, i–ზე გამრავლება გვაძლევს სათავის მიმართ 90, degrees–ით მობრუნებას:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ამის მიზეზად შეგიძლიათ, ჩათვალოთ ის, რომ i-ის მოდული არის 1 და არგუმენტი - 90, degrees, ან ის, რომ ეს მობრუნება საკოორდინატო სიბრტყის გადაადგილების (0-ის უცვლელად) ერთადერთი გზაა, რომელსაც 1 იქ გადაჰყავს, სადაც თავიდან i იყო.

ასე რომ, რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს i–ზე გავამრავლებთ ორჯერ?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს იგივე სათავის მიმართ 180, degrees–ით მობრუნებაა, რაც არის minus, 1–ზე გამრავლება. რა თქმა უნდა, ეს ლოგიკურია, რადგან i–ზე ორჯერ გამრავლება იგივე i, squared–ზე გამრავლებაა, რაც minus, 1 უნდა იყოს.

საინტერესოა იმაზე ფიქრი, რომ i სადმე სხვაგან რომ მოგვეთავსებინა, ხოლო მისი i, squared, equals, minus, 1 თვისება შეგვენარჩუნებინა, კომპლექსური გამრავლების ასეთ სუფთა ვიზუალურ გამოსახვას ვერ შევძლებდით.

კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

მოდით, მეტი ვიმუშაოთ რაღაც კომპლექსურ რიცხვზე განმეორებით გამრავლებებზე.

1–ლი მაგალითი: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

აიღეთ რიცხვი z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, რომლის მოდული არის square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 და კუთხე - 60, degrees. რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს z-ზე გავამრავლებთ ზედიზედ სამჯერ?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ყველაფერი გაწელილია 2–ჯერ ზედიზედ სამჯერ, ასე რომ, საბოლოო ჯამში ყველაფერი გაწელილია 2, cubed, equals, 8–ჯერ. ამის მსგავსად ყველაფერი ზედიზედ სამჯერაა მობრუნებული 60, degrees–ით, ასე რომ, საბოლოო ჯამში მობრუნებულია 180, degrees–ით. მაშასადამე, საბოლოო ჯამში, ეს იგივე minus, 8–ზე გამრავლებაა, ასე რომ, left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.

ამის ნახვა ალგებრულადაც შეგვიძლია შემდეგნაირად:

\begin{aligned} {(2 (\cos (60^{\circ}) + i \sin (60^{\circ})))}^{3} \\ = 2^{3} (\cos (60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ}) + i \sin (60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ}) \\ = 8 (\cos (180^{\circ}) + i \sin (180^{\circ})) \\ = - 8 \end{aligned}

მე–2 მაგალითი: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

შემდეგ დავუშვათ, რომ სიბრტყეზე ყველაფერს left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis–ზე ზედიზედ რვაჯერ ვამრავლებთ:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რადგან 1, plus, i–ის მოდული არის

vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,

ყველაფერი square root of, 2, end square root–ჯერაა გაწელილი ზედიზედ სამჯერ, მაშასადამე, საბოლოო ჯამში გაწელილია left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16–ჯერ.

რადგან left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis–ის კუთხე არის 45, degrees, ყველაფერი ჯამში 8, dot, 45, degrees, equals, 360, degrees–ითაა მობრუნებული, ასე რომ, ჯამში თითქოს არც მობრუნებულა. შესაბამისად, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.

ამის ალგებრულად დანახვა შეგვიძლია შემდეგნაირად

\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\cdot(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$-ჯერ}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$-ჯერ}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

მე–3 მაგალითი: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

ახლა მოდით, შებრუნებული კითხვის დასმა დავიწყოთ: არის ისეთი z რიცხვი, რომლისთვისაც თუ სიბრტყეზე ყველაფერს ზედიზედ ხუთჯერ გავამრავლებთ z–ზე, ყველაფერი საწყის ეტაპს დაუბრუნდება? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია, z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 განტოლება ამოვხსნათ? ერთი მატრივი პასუხია z, equals, 1, მაგრამ ვნახოთ, სხვა პასუხების პოვნასაც თუ შევძლებთ.

პირველ რიგში, ასეთი რიცხვის მოდული 1 უნდა იყოს, რადგან თუ იგი 1 ზე მეტი იქნება, სიბრტყეზე ყველაფერი გაწელვას განაგრძობს და თუ 1–ზე ნაკლები – შეკუმშვას. თუმცა მობრუნება ცოტა განსხვავებული რამ არის, რადგან საწყის ეტაპს შეგიძლიათ, დაუბრუნდეთ კონკრეტული რაოდენობის მობრუნების გამეორების შემდეგ. კონკრეტულად, თუ გზის start fraction, 1, divided by, 5, end fraction–ს მოაბრუნებთ ასე

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მაშინ ამის ზედიზედ 5–ჯერ გაკეთება საწყის პოზიციაზე დაგაბრუნებთ.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რიცხვი, რომელიც სიბრტყეს ასე აბრუნებს, არის cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, რადგან start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees.

სხვა ამონახსნებიც არსებობს, როგორიცაა start fraction, 2, divided by, 5, end fraction–ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ან start fraction, 1, divided by, 5, end fraction-ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

სინამდვილეში, რიცხვები, რომლებიც განტოლებას ხსნიან, ერთეულოვან წრეზე ლამაზად ქმნიან წესიერ ხუთკუთხედს:

მე–4 მაგალითი: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 განტოლების მიხედვით გვთხოვენ, ვიპოვოთ ისეთი კომპლექსური z რიცხვი, რომელზეც ზედიზედ 6-ჯერ გამრავლება გაწელავს 27-ჯერ და მოაბრუნებს 180, degrees-ით, რადგან უარყოფითობა ნიშნავს 180, degrees-ით მობრუნებას.

ისეთი რაღაცის, რომელიც 6-ჯერ ზედიზედ გამოყენებისას გაწელავს 27-ჯერ, მოდული უნდა იყოს root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root და მობრუნების ერთი გზა, რომელიც 6-ჯერ გამოყენების შემდეგ 180, degrees-ით მოაბრუნებს, არის start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees-ით მობრუნება. შესაბამისად, ერთი რიცხვი, რომელიც z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 განტოლებას ხსნის, არის

\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

თუმცა სხვა ამონახსნებიც არსებობს! სინამდვილეში, ეს ამონახსნები წესიერ ექვსკუთხედს ქმნის წრეზე, რომლის რადიუსი არის square root of, 3, end square root:

ხედავთ, რატომ?

z, start superscript, n, end superscript, equals, w-ის ზოგადი ამოხსნა

მოდით, ბოლო ორი მაგალითი განვაზოგადოთ. თუ მოცემული გაქვთ w-ისა და n-ის მნიშვნელობები და გთხოვენ z-ის პოვნას, როგორც წინა მაგალითში, სადაც n, equals, 6 და w, equals, minus, 27, ჯერ w-ს პოლარულ ფორმას პოულობთ:

w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

ეს ნიშნავს, რომ z-ის არგუმენტი უნდა იყოს start fraction, theta, divided by, n, end fraction, მისი მოდული კი — root, start index, n, end index, რადგან ამ შემთხვევაში ზედიზედ n-ჯერ z-ზე გამრავლება გამოიწვევს theta-ით მობრუნებას და r-ზე გამრავლებას, როგორც ამას w აკეთებს. ასე რომ,

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

სხვა პასუხები რომ ვიპოვოთ, ვითვალისწინებთ, რომ theta კუთხე შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ, როგორც theta, plus, 2, pi, theta, plus, 4, pi ან theta, plus, 2, k, pi ნებისმიერი მთელი k რიცხვისათვის, რადგან ისინი სინამდვილეში ერთი და იგივე კუთხეებია. ამას მნიშვნელობა იმის გამო აქვს, რომ თუ theta–ს გაყოფამდე შევცვლით theta, plus, 2, pi, k–ით, start fraction, theta, divided by, n, end fraction–იც შეიცვლება. მაშასადამე, ყველა ამონახსნი იქნება შემდეგი ფორმის

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

k-ის ზოგიერთი მთელი მნიშვნელობისთვის. ეს მნიშვნელობები განსხვავებული იქნება, რადგან k იცვლება 0–დან n, minus, 1–მდე, მაგრამ როცა k, equals, n, შეგვიძლია, მივუთითოთ, რომ start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi არის იგივე start fraction, theta, divided by, n, end fraction, რადგან ისინი ერთი სრული მობრუნებით განსხვავდებიან. ასე რომ, ყველა პასუხს ვხედავთ k–ს 0–დან n, minus, 1–მდე მნიშვნელობების განხილვით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

კავშირი i2=−1i^2 = -1i2=−1i, squared, equals, minus, 1-სა და iiii-ს მდებარეობას შორის

კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

1–ლი მაგალითი: (1+i3)3(1 + i\sqrt{3})^3(1+i3​)3left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

მე–2 მაგალითი: (1+i)8(1 + i)^8(1+i)8left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

მე–3 მაგალითი: z5=1z^5 = 1z5=1z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

მე–4 მაგალითი: z6=−27z^6 = -27z6=−27z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

zn=wz^n= wzn=wz, start superscript, n, end superscript, equals, w-ის ზოგადი ამოხსნა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

კავშირი i, squared, equals, minus, 1-სა და i-ს მდებარეობას შორის

1–ლი მაგალითი: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

მე–2 მაგალითი: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

მე–3 მაგალითი: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

მე–4 მაგალითი: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

z, start superscript, n, end superscript, equals, w-ის ზოგადი ამოხსნა