ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების გამრავლების ვიზუალიზაცია

ისწავლეთ, როგორ იქცევა კომპლექსური რიცხვის გამრავლების მაგალითი, როცა მის გრაფიკულ ეფექტს ხედავთ კომპლექსურ სიბრტყეზე.

როგორ გამოიყურება კომპლექსური რიცხვების გამრავლება

უკვე ვიცით, როგორ გავამრავლოთ როგორც ალგებრული, ისე პოლარული ფორმით მოცემული ორი კომპლექსური რიცხვი. კონკრეტულად პოლარული ფორმა გვეუბნება, რომ ვამრავლებთ აბსოლუტურ მნიშნელობებს და ვკრებთ არგუმენტებს:

\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}

კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისას რიცხვის პოლარული გამოსახვის გამოყენების ერთი დიდი უპირატესობა არის ის, რომ იგი გვაჩვენებს, თუ რა ხდება.

რა მოხდება, თუ კომპლექსურ სიბრტყეზე ყველა წერტილს რაღაც z კომპლექსურ რიცხვზე გავამრავლებთ? თუ z-ს აქვს r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis პოლარული ფორმა, ზემოთ ხაზგასმული წესი გვეუბნება, რომ სიბრტყეზე ყველა წერტილი გაიწელება r-ჯერ და მობრუნდება theta კუთხით.

მაგალითები

z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis–ის z–ზე გამრავლება ყველაფერს 2–ჯერ გაზრდის, ხოლო 30, degrees–ით მობრუნება შემდეგნაირად გამოიყურება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction-ისთვის z-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის

square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction

და მისი კუთხე არის minus, 45, degrees, ასე რომ, z–ზე გამრავლება ყველაფერს გაზრდიდა start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471–ჯერ, რაც ნიშნავს შეკუმშვას სათავის მიმართ minus, 45, degrees-ით მობრუნებასთან ერთად, რაც ისრის მიმართულებით მობრუნებაა.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

z, equals, minus, 2-ისთვის, რომლის აბსოლუტური სიდიდეა 2 და არგუმენტი - 180, degrees, გამრავლება სათავის მიმართ აკეთებინებს ნახევარ მობრუნებას და წელავს 2-ჯერ.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ამ გარდაქმნებზე და ზოგადად კომპლექსურ გამრავლებაზე ფიქრის სხვა გზა არის, მოვნიშნოთ რიცხვები 1 და z და დავაკვირდეთ, რომ z–ზე გამრავლებას 1–ის შესაბამისი წერტილი იქ გადაჰყავს, სადაც z–მა დაიწყო, რადგან z, dot, 1, equals, z. რა თქმა უნდა, ეს ისე უნდა გააკეთოს, რომ სათავე არ შეიცვალოს, რადგან z, dot, 0, equals, 0.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

საინტერსეოა, თუ როგორ შეუძლია ისეთ მარტივ მაგალითებს, როგორებიცაა z, dot, 1, equals, z და z, dot, 0, equals, 0, დაგვეხმაროს კომპლექსური გამრავლების ვიზუალურად გამოსახვაში!

კომპლექსურის შეუღლებულის ვიზუალური გაგება

მოდით, ვნახოთ, რა ხდება, როცა სიბრტყეს რაღაც z კომპლექსურ რიცხვზე ვამრავლებთ და შედეგს - მის შეუღლებულ z, with, \bar, on top-ზე:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

თუ z-ის არგუმენტი არის theta, კომპლექსურის შეუღლებულის z, with, \bar, on top-ის არგუმენტი არის minus, theta, ასე რომ, ერთმანეთის მომდევნო გამრავლებებს ჯამურად არ აქვთ მობრუნება. ამის დანახვა იმ ფაქტით შეგვიძლია, რომ ადგილი, რომელი თავიდან 1-ზე იყო, საბოლოოდ დადებით ნამდვილ ღერძზე გადადის.

მოდულზე რას ვიტყვით? ორივე რიცხვს ერთი და იგივე აბსოლუტური სიდიდე აქვს, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, ასე რომ, ჯერ z-ზე და შემდეგ z, with, \bar, on top-ზე გამრავლების ჯამური ეფექტი არის ყველაფრის vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared-ჯერ გაწელვა.

რა თქმა უნდა, ამ ფაქტის დანახვა ფორმულებითაც მარტივად შეიძლება, რადგან left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared, მაგარამ ამის მოქმედებაში ნახვა კარგია განათლებისთვის!

როგორ გამოიყურება კომპლექსური რიცხვების გაყოფა

რა მოხდება, თუ კომპლექსურ სიბრტყეზე ყველა რიცხვს z-ზე გავყოფთ? თუ z-ს აქვს theta არგუმენტი და r მოდული, მაშინ გაყოფა გამრავლების საპირისპიროს ახდენს: იგი ყველაფერს minus, theta-ჯერ აბრუნებს და start fraction, 1, divided by, r, end fraction-ზე ამრავლებს (რაც ნიშნავს r-ჯერ შემცირებას).

1-ლი მაგალითი: square root of, 3, end square root, plus, i-ზე გაყოფა

square root of, 3, end square root, plus, i-ის არგუმენტი არის 30, degrees და აბსოლუტური სიდიდე - 2, ასე რომ, ყველაფერი minus, 30, degrees-ით ბრუნდება, რაც საათის ისრის მიმართულებაა და მრავლდება start fraction, 1, divided by, 2, end fraction-ზე (რაც ნიშნავს 2-ჯერ შემცირებას).

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მე-2 მაგალითი: start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction-ზე გაყოფა

start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction-ის არგუმენტია minus, 45, degrees და მოდული -

ასე რომ, ახლა ყველაფერი plus, 45, degrees-ით ბრუნდება და start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121-ჯერ იზრდება.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

შეიძლება, შენიშნეთ, რომ ეს გაყოფები ასევე შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც z-ზე მდებარე წერტილის აღება და 1-ზე გადატანა.

კომპლექსური რიცხვების გაყოფის ვიზუალური გამოსახვის ფორმულასთან დაკავშირება

start fraction, z, divided by, w, end fraction რომ გამოვთვალოთ, სადაც, დავუშვათ, z, equals, a, plus, b, i და w, equals, c, plus, d, i, ვისწავლეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც კომპლექსური w რიცხვის შუღლებულზე, start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i-ზე, ვამრავლებთ.

start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, w-ზე გაყოფა იგივე start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction-ზე გამრავლებაა. ამის გაგების ვიზუალური გზა არსებობს?

დავუშვათ, w-ს არგუმენტი არის theta და აბსოლუტური სიდიდე - r, მაშინ w-ზე რომ გავყოთ, უნდა მოვააბრუნოთ minus, theta-ით და გავამრავლოთ start fraction, 1, divided by, r, end fraction-ზე. რადგან start overline, w, end overline შეუღლებულს აქვს w-ს არგუმენტის მოპირდაპირე არგუმენტი, start overline, w, end overline-ზე გამავლება მოაბრუნებს minus, theta-თი, როგორც გვინდა, თუმცა start overline, w, end overline-ზე გამრავლება ყველაფერს r-ზე ამრავლებს. ჩვენ კი პირიქით გვინდა, ასე რომ, შესასწორებლად r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared-ზე ვყოფთ.

მაგალითად, 1, plus, 2, i-ზე პირდაპირ გამრავლება ასე გამოიყურება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ხოლო აქ არის ჯერ მის შეუღლებულზე, 1, minus, 2, i-ზე, გამრავლება და შემდეგ აბსოლუტური სიდიდის კვადრატზე, vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5-ზე, გაყოფა.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი