If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების გამრავლების ვიზუალიზაცია

ისწავლეთ, როგორ იქცევა კომპლექსური რიცხვის გამრავლების მაგალითი, როცა მის გრაფიკულ ეფექტს ხედავთ კომპლექსურ სიბრტყეზე.

როგორ გამოიყურება კომპლექსური რიცხვების გამრავლება

უკვე ვიცით, როგორ გავამრავლოთ როგორც ალგებრული, ისე პოლარული ფორმით მოცემული ორი კომპლექსური რიცხვი. კონკრეტულად პოლარული ფორმა გვეუბნება, რომ ვამრავლებთ აბსოლუტურ მნიშნელობებს და ვკრებთ არგუმენტებს:
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]
კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისას რიცხვის პოლარული გამოსახვის გამოყენების ერთი დიდი უპირატესობა არის ის, რომ იგი გვაჩვენებს, თუ რა ხდება.
რა მოხდება, თუ კომპლექსურ სიბრტყეზე ყველა წერტილს რაღაც z კომპლექსურ რიცხვზე გავამრავლებთ? თუ z-ს აქვს r(cos(θ)+isin(θ)) პოლარული ფორმა, ზემოთ ხაზგასმული წესი გვეუბნება, რომ სიბრტყეზე ყველა წერტილი გაიწელება r-ჯერ და მობრუნდება θ კუთხით.

მაგალითები

z=3+i=2(cos(30)+isin(30))–ის z–ზე გამრავლება ყველაფერს 2–ჯერ გაზრდის, ხოლო 30–ით მობრუნება შემდეგნაირად გამოიყურება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
z=13i3-ისთვის z-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის
(13)2+(13)2=23
და მისი კუთხე არის 45, ასე რომ, z–ზე გამრავლება ყველაფერს გაზრდიდა 230,471–ჯერ, რაც ნიშნავს შეკუმშვას სათავის მიმართ 45-ით მობრუნებასთან ერთად, რაც ისრის მიმართულებით მობრუნებაა.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
z=2-ისთვის, რომლის აბსოლუტური სიდიდეა 2 და არგუმენტი - 180, გამრავლება სათავის მიმართ აკეთებინებს ნახევარ მობრუნებას და წელავს 2-ჯერ.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამ გარდაქმნებზე და ზოგადად კომპლექსურ გამრავლებაზე ფიქრის სხვა გზა არის, მოვნიშნოთ რიცხვები 1 და z და დავაკვირდეთ, რომ z–ზე გამრავლებას 1–ის შესაბამისი წერტილი იქ გადაჰყავს, სადაც z–მა დაიწყო, რადგან z1=z. რა თქმა უნდა, ეს ისე უნდა გააკეთოს, რომ სათავე არ შეიცვალოს, რადგან z0=0.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
საინტერსეოა, თუ როგორ შეუძლია ისეთ მარტივ მაგალითებს, როგორებიცაა z1=z და z0=0, დაგვეხმაროს კომპლექსური გამრავლების ვიზუალურად გამოსახვაში!

კომპლექსურის შეუღლებულის ვიზუალური გაგება

მოდით, ვნახოთ, რა ხდება, როცა სიბრტყეს რაღაც z კომპლექსურ რიცხვზე ვამრავლებთ და შედეგს - მის შეუღლებულ z¯-ზე:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
თუ z-ის არგუმენტი არის θ, კომპლექსურის შეუღლებულის z¯-ის არგუმენტი არის θ, ასე რომ, ერთმანეთის მომდევნო გამრავლებებს ჯამურად არ აქვთ მობრუნება. ამის დანახვა იმ ფაქტით შეგვიძლია, რომ ადგილი, რომელი თავიდან 1-ზე იყო, საბოლოოდ დადებით ნამდვილ ღერძზე გადადის.
მოდულზე რას ვიტყვით? ორივე რიცხვს ერთი და იგივე აბსოლუტური სიდიდე აქვს, |z|=|z¯|, ასე რომ, ჯერ z-ზე და შემდეგ z¯-ზე გამრავლების ჯამური ეფექტი არის ყველაფრის |z||z¯|=|z|2-ჯერ გაწელვა.
რა თქმა უნდა, ამ ფაქტის დანახვა ფორმულებითაც მარტივად შეიძლება, რადგან (a+bi)(abi)=a2+b2=|a+bi|2, მაგარამ ამის მოქმედებაში ნახვა კარგია განათლებისთვის!

როგორ გამოიყურება კომპლექსური რიცხვების გაყოფა

რა მოხდება, თუ კომპლექსურ სიბრტყეზე ყველა რიცხვს z-ზე გავყოფთ? თუ z-ს აქვს θ არგუმენტი და r მოდული, მაშინ გაყოფა გამრავლების საპირისპიროს ახდენს: იგი ყველაფერს θ-ჯერ აბრუნებს და 1r-ზე ამრავლებს (რაც ნიშნავს r-ჯერ შემცირებას).

1-ლი მაგალითი: 3+i-ზე გაყოფა

3+i-ის არგუმენტი არის 30 და აბსოლუტური სიდიდე - 2, ასე რომ, ყველაფერი 30-ით ბრუნდება, რაც საათის ისრის მიმართულებაა და მრავლდება 12-ზე (რაც ნიშნავს 2-ჯერ შემცირებას).
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

მე-2 მაგალითი: 13i3-ზე გაყოფა

13i3-ის არგუმენტია 45 და მოდული -
(13)2+(13)2=23
ასე რომ, ახლა ყველაფერი +45-ით ბრუნდება და 322,121-ჯერ იზრდება.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
შეიძლება, შენიშნეთ, რომ ეს გაყოფები ასევე შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც z-ზე მდებარე წერტილის აღება და 1-ზე გადატანა.

კომპლექსური რიცხვების გაყოფის ვიზუალური გამოსახვის ფორმულასთან დაკავშირება

zw რომ გამოვთვალოთ, სადაც, დავუშვათ, z=a+bi და w=c+di, ვისწავლეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც კომპლექსური w რიცხვის შუღლებულზე, w=cdi-ზე, ვამრავლებთ.
zw=a+bic+di=a+bic+dicdicdi=(a+bi)(cdi)c2+d2=zw|w|2
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, w-ზე გაყოფა იგივე w|w|2-ზე გამრავლებაა. ამის გაგების ვიზუალური გზა არსებობს?
დავუშვათ, w-ს არგუმენტი არის θ და აბსოლუტური სიდიდე - r, მაშინ w-ზე რომ გავყოთ, უნდა მოვააბრუნოთ θ-ით და გავამრავლოთ 1r-ზე. რადგან w შეუღლებულს აქვს w-ს არგუმენტის მოპირდაპირე არგუმენტი, w-ზე გამავლება მოაბრუნებს θ-თი, როგორც გვინდა, თუმცა w-ზე გამრავლება ყველაფერს r-ზე ამრავლებს. ჩვენ კი პირიქით გვინდა, ასე რომ, შესასწორებლად r2=|w|2-ზე ვყოფთ.
მაგალითად, 1+2i-ზე პირდაპირ გამრავლება ასე გამოიყურება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ხოლო აქ არის ჯერ მის შეუღლებულზე, 12i-ზე, გამრავლება და შემდეგ აბსოლუტური სიდიდის კვადრატზე, |1+2i|2=5-ზე, გაყოფა.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ორივე საბოლოო შედეგი ერთი და იგივეა.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.