ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების პოლარული ფორმის გახსენება

გაიხსენეთ კომპლექსური რიცხვის პოლარული ფორმა და გამოიყენეთ იგი, რომ გაამრავლოთ და გაყოთ კომპლექსური რიცხვები და იპოვოთ მათი ხარისხები.

რა არის პოლარული ფორმა?

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis

კომპლექსური რიცხვის პოლარული ფორმა ხაზს უსვამს მის გრაფიკულ მახასიათებლებს: start color #e07d10, start text, ა, ბ, ს, ო, ლ, უ, ტ, უ, რ, space, ს, ი, დ, ი, დ, ე, ს, end text, end color #e07d10 (კომპლექსურ სიბრტყეზე სათავიდან რიცხვამდე მანძილი) და start color #aa87ff, start text, კ, უ, თ, ხ, ე, ს, end text, end color #aa87ff (კუთხე, რომელსაც რიცხვი დადებით ნამდვილ ღერძთან ადგენს). მათ ასევე ეწოდებათ start color #e07d10, start text, მ, ო, დ, უ, ლ, ი, end text, end color #e07d10 და start color #aa87ff, start text, ა, რ, გ, უ, მ, ე, ნ, ტ, ი, end text, end color #aa87ff.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ თუ პოლარულ ფორმაში გავხსნით ფრჩხილებს, რიცხვს მივიღებთ ალგებრული ფორმით:

გინდათ, მეტი ისწავლოთ კომპლექსური რიცხვის პოლარული ფორმის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.
გინდათ, მეტი ისწავლოთ კომპლექსური რიცხვების სხვადასხვა ფორმების შესახებ? ნახეთ ეს სტატია.
გინდათ, მეტი ისწავლოთ ალგებულიდან პოლარულ ფორმაში და პირიქით გადაყვანის შესახებ? ნახეთ ეს სტატია.

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 1: პოლარულ ფორმაში გამრავლება და გაყოფა

პოლარული ფორმა ძალიან მოსახერხებელია კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას:

\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}

გინდათ, მეტი ისწავლოთ პოლარულ ფორმაში გამრავლებისა და გაყოფის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

ამოცანა 1,1

მიმდინარე

w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket

w, start subscript, 1, end subscript, dot, w, start subscript, 2, end subscript, equals

პასუხი პოლარულ ფორმაში უნდა იყოს. არგუმენტი გრადუსებში უნდა იყოს მოცემული.

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 2: პოლარული ფორმით მოცემული კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\cdot\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\cdot\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

მაგალითი 1

მოდით, გამოვთვალოთ left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. პირველ რიგში, გადაგვყავს პოლარულ ფორმაში:

left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

[მაჩვენე გამოთვლის მთელი პროცესი.]

ახლა გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული წესი:

\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\cdot\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\cdot\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\cdot 0) \\\\ &=64 \end{aligned}

მაგალითი 2

მოდით, ვიპოვოთ z, cubed, equals, 27 განტოლების ამონახსნები. პირველად განვსაზღვრავთ r-სა და theta-ს, როგორც z-ის მოდულსა და არგუმენტს. ასე რომ, z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript არის r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.

რიცხვი 27 შეიძლება, ჩაიწეროს, როგორც 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.

მთავარი z, cubed, equals, 27 განტოლებისგან მივიღეთ ორი განტოლება:

r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, equals, k, dot, 360, degrees

პირველი განტოლების ამონახსნი არის r, equals, 3. მეორე განტოლების ამონახსნი არის theta, equals, k, dot, 120, degrees, რომელსაც სამი განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს: 0, degrees, 120, degrees და 240, degrees. ესენი შეესაბამება შემდეგ სამ ამონახსნს:

\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}

ამოცანა 2,1

მიმდინარე

left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.