ცვლადები განტოლების ორივე მხარეს: შესავალი

მოდით უფრო რთული განტოლება ამოვხსნათ. ვთქვათ გვაქვს ორ x-ს პლუს სამი უდრის ხუთ x-ს მინუს ორს. თავიდან დამაბნეველად გამოიყურება. განტოლების ორივე მხარეს გვაქვს x-ები. ვამატებთ და ვაკლებთ რიცხვებს. როგორ უნდა გამოვთვალოთ? რამდენიმე გზით გავაკეთებთ. მნიშნელოვანია გვახსოვდეს, რომ x-ის იზოლირება გვინდა. როდესაც ის იზოლირებულია, გაქვთ x უდრის რაღაცას. და განტოლებაც ამოიხსნება. შეგიძლიათ დაბრუნდეთ და შეამოწმოთ. რამდენიმე ოპერაციას გავაკეთებთ განტოლების ორივე მხარეს x-ის იზოლირებისთვის. სანამ ამას გავაკეთებთ, მინდა წარმოვიდგინოთ რა ხდება. არ მინდა იფიქროთ რა არის წესი ან განტოლების ამოხსნის ეპატები, შეიძლება დაგავიწყდეთ ეს შეიძლება თუ არ შეიძება. --თუ წარმოიდგენთ რა ხდება საღი აზრი იქნება ის, რაც დასაშვებია. წარმოვიდგინოთ. გვაქვს ორი x მარცხენა კუთხეში. პირდაპირი მნიშვნელობით ეს არის x-ს პლუს x. შემდეგ გაქვთ პლუს სამი. --ასე გავაკეთებ. პლუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი. ეს იგივეა, რაც სამი. შემეძლო სამი წრე დამეხაზა. --ერთ ფერში გავაკეთებ. --პლუს სამი. შემდეგ ეს უდრის ხუთი x-ს ამას ლურჯად გავაკეთებ. ტოლია ხუთი x-ის. ანუ, 1, 2, 3, 4, 5-- მინდა ნათელი იყოს განტოლების ამოხსნისას ასე გაკეთება არასდროს მოგიწევთ. მხოლოდ ალგებრულ საფეხურებს შეასრულებთ. ამას იმისთვის ვაკეთებ, რომ წარმოიდგინოთ რას ამბობს ეს განტოლება. მარცხენა მხარე არის ამ ორი ნარინჯისფერ x-ს პლუს სამი. მარჯვენა მხარეს: ხუთ x-ს მინუს ორი. მინუს ორი შეგვიძლია დავწეროთ როგორც: სხვა ფერში დავწერ. მინუს ორს დავწერ, როგორც მინუს ერთს და მინუს ერთს. გვინდა x-ები განტოლების ერთ მხარეზე გვქონდეს. როგორ გავაკეთოთ ეს? ამის ორი გზა გვაქვს. შეგვეძლო ორი x გამოგვეკლო განტოლების ორივე მხარისთვის. ეს აზრიანი იქნებოდა, რადგან გვექნებოდა ხუთ x-ს მინუს ორი x. მარჯვენა მხარეს x-ების დადებითი რაოდენობა გექნებოდათ. ან შეგეძოთ ხუთი x გამოგეკლოთ ორივე მხარისთვის. ეს კარგია ალგებრაში. სწორ ოპერაციებს თუ გააკეთებთ, ბოლოს მაინც სწორ პასუხს მიიღებთ. დავიწყოთ განტოლების ორივე მხარისთვის ორი x-ის გამოკლებით. ვგულისხმობ, რომ მარცხენა მხარეს მოვაშოროთ ორი x. თუ მოვაშორებთ ორი x მარცხენა მხრიდან, მარჯვენა მხარესაც უნდა მოვაცილოთ ორი x. აი ასე. რას გვაძლევს ეს? ვაკლებთ ორ x-ს მარცხენა მხრიდან და ორ x-ს მარჯვნიდანაც. როგორ მარტივდება მარცხენა მხარე? გვაქვს ორ x-ს პლუს სამი მინუს ორი x. ორი x-ები შეიკვეცება. მხოლოდ სამი გრჩებათ. აი აგერ ხედავთ. ორი x მოვაცილეთ, მხოლოდ პლუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი დაგვრჩა. ხოლო მარჯვენა მხარეს, ხუთ x-ს მინუს ორი x. აქ გვაქვს. ხუთ x-ს მინუს ორი x. გვრჩება მხოლოდ 1, 2, 3 x. სამი უდრის სამ x-ს. შემდეგ გაქვთ მინუს ორი. ამოცანის ჩვეულებრივ გაკეთებისას მარცხენა მხარეს რაც გვაქვს, მაგას დაწერდით. შემდეგ რას ვაკეთებთ? x-ების განცალკევება გვინდა. ყველა x მარჯვნივ გვაქვს. მინუს ორს თუ მოვიშორებთ მარჯვენა მხრიდან, x-ები ცალკე დარჩებიან. როგორ მოვიშოროთ მინუს ორი, აქ თუ წარმოვიდგენთ. ეს მინუს ერთი და მინუს ერთი. შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარეს ორი დავამატოთ. დავფიქრდეთ რა მოხდება. თუ დავამატებთ ორს-- ასე გავაკეთებ-- პლუს ერთი, პლუს ერთი-- ხედავთ, რომ ორს ვამატებთ. მარცხენა მხარესაც დავამატებთ ორს. პლუს ერთი, პლუს ერთი. რა მოხდება? აქაც გავაკეთებ. მაშ, ვამატებთ ორს, აქაც ვამატებთ ორს. რა მოხდემა მარცხენა მხარეს? სამს პლუს ორი უდრის ხუთს. ეს კი, სამ x-ს მინუს ორს პლუს ორია. ესენი იკვეცება გრჩებათ მხოლოდ სამი x. ამას აქ ვხედავთ. მარცხნივ გვაქვს: პლუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი. გვაქვს ხუთი ერთიანი, ანუ ხუთი. მარჯვენა მხარეს კი- სამი x --აი აქ-- შემდეგ გვაქვს მინუს ერთი, მინუს ერთი, პლუს ერთი, პლუს ერთი. ესენი იკვეცება. ისინი ნულს გვაძლევენ. დაგვრჩება: ხუთი უდრის სამ x-ს. გვაქვს, 1, 2, 3, 4, 5 უდრის სამ x-ს. წავშლი ყველაფერს, რაც მოვაშორეთ. უფრო სუფთად რომ გამოჩნდეს. ეს ყველაფერი ისაა, რაც მოვაშორეთ. ახლა დაგვრჩა 1, 2, 3, 4, 5-- ამას გადმოვიტან. შემიძლია აი აქ გადმოვიტანო. ახლა გვაქვს 1, 2, 3, 4, 5 უდრის სამ x-ს. ესენი გაბათილდა, ამიტომ არაფერი არ დაგვრჩა. განტოლების ორივე მხარეს სამზე გავყოფთ. ეს ცოტა რთული წარმოსადგენი იქნება აქეთ. ორივე მხარე სამზე თუ გავყავით, რას ვიღებთ? მარცხენას გავყოფთ სამზე, მარჯვენასაც სამზე. სამზე იმიტომ გავყავით, რომ x სამზე იყო გამრავლებული. სამი x-ის კოეფიციენტია. ეს ნიშნავს რიცხვს, რომელზეც ვამრავლებთ ცვლადს. ცვლადი, რომლისთვისაც ვხსნით განტოლებას. ეს სამები შეიკვეცება. განტოლების მარჯვენა მხარეს მხოლოდ x-ია. მარცხენა მხარე კი 5/3-ია. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ x 5/3-ს უდრის. ეს განსხვავდება იმისგან, რაც აქამდე გვინახავს. x მარჯვნივ მაქვს, მნიშვნელობა კი- მარცხნივ. ეს სრულიად ნორმალურია. 5/3 უდრის x-ს იგივეა, რაც x უდრის 5/3-ს. სრულიად ექვივალენტურია. ზოგჯერ ამას უფრო ვეჩვევით, მაგრამ ეს ზუსტად იგივე რამეა. თუ შერეული რიცხვის სახით გვინდა ჩაწერა, --სამი ხუთში ერთხელ შედის, ნაშთით ორი-- ანუ, ეს იქნება 1 მთელი 2/3. დავწეროთ, რომ x უდრის ერთ მთელ 2/3-ს. თავდაპირველ ფუნქციაში ჩასვით და ნახეთ სწორია თუ არა. წარმოვიდგინოთ, როგორ მივიღეთ ერთი მთელი 2/3? ერთების ნაცვლად წრეებს დავხაზავ. --ან, კვადრატებს გავაკეთებ-- მარცხენა მხარეს ხუთი კვადრატი მექნება. --ყვითელ ფერს გამოვიყენებ. მაქვს 1, 2, 3, 4, 5 ეს იქნება სამი x-ის ტოლი. x-ს პლუს x, პლუს x. განტოლების ორივე მხარეს სამზე ვყოფთ. ეს გავაკეთეთ აქ: ორივე მხარე სამზე გავყავით. როგორ კეთდება ეს: მარჯვენა მხარე საკმაოდ ნათელია სამი x-ის სამ ჯგუფად გაყოფა გინდათ. ეს არის 1, 2, 3 ჯგუფი. ხუთს სამ ჯგუფად როგორ გაყოფთ? ტოლი ჯგუფები უნდა იყოს. პასუხი გვეუბნება, რომ ყოველი ჯგუფი ერთი მთელი 2/3 იქნება. შემდეგის 2/3. ამის მერე გვექნება ერთი მთელი 2/3. ეს 1/3-ია, კიდევ ერთი 1/3 დაგვჭირდება. აი აქ იქნება. და დაგვრჩება 2/3 და ერთი. სამ ჯგუფად დავყავით. უფრო ნათელს გავხდი. ეს არის ერთი მთელი 2/3. ეს არის 1/3, მეორე 1/3, ანუ 2/3-ია. ეს არის ერთი. ანუ ერთი მთელი 2/3 გამოდის. ბოლოს, ეს არის 2/3 და ეს ერთი. ანუ 1 2/3 გამოდის. როდესაც ორივე მხარეს სამზე ყოფთ, ყოველი განყოფილება ერთ მთელ 2/3-ს უდრის მარცხენა მხარეს. ანუ 5/3-ს. ხოლო მარჯვნივ, უბრალოდ x გვაქვს. ნაწილებით რთული წარმოსადგენია.