მოდულიანი უტოლობების ამოხსნა: წილადები

გვაქვს 2r მინუს სამი მთელი 1/4-ის მოდული ნაკლებია ორ მთელ 1/2 -ზე. და ჩვენ უნდა ამოვხსნათ r–ისთვის. r-ის საპოვნელად მოდულს უნდა მივხედოთ ცოტა მიმოვიხილოთ: თუკი ვიტყვით, რომ x-ის მოდული ნაკლებია ორ მთელ 1/2–ზე, ეს ნიშნავს რომ მანძილი x-დან ნულამდე ნაკლებია ორ მთელ 1/2–ზე. ეს ნიშნავს, რომ x უნდა იყოს ორ მთელ 1/2-ზე ნაკლები და x უნდა იყოს მინუს ორ მთელ 1/2-ზე მეტი. უბრალოდ დაფიქრდით ერთი წამით. მე რომ დავხაზო რიცხვითი წრფე აი აქ, ეს იქნება ნულის, ეს ორი მთელი 1/2 და ეს კი მინუს ორი მთელი 1/2. ეს ორი რიცხვი ზუსტად ორი მთელი 1/2 მანძილით არიან დაშორებული ნულიდან, ორივე მათგანის მოდული არის ორი მთელი 1/2. ახლა თუკი მე მინდა ყველა რიცხვი, რომელთა მოდული ნაკლებია ორ მთელ 1/2–ზე, ანუ რომლებიც მოთავსებულია ნულიდან ორ მთელ 1/2 მანძილში, ეს რიცხვები იქნება ამათ შორის. და აი რას გვეუბნება ეს ორი რიცხვი: ისინი გვეუბნება, რომ x უნდა იყოს ორ მთელ 1/2-ზე ნაკლები და მინუს ორ მთელ 1/2-ზე მეტი. მოდული სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, x-ის მოდული რომ ყოფილიყო ორ მთელ 1/2-ზე უფრო დიდი, მაშინ ეს იქნებოდა ამ არის გარეთ მყოფი რიცხვები. ჩვენ ვხსნით შემთხვევას, როდესაც ნაკლებობა გვაქვს, ამიტომ მოდით უბრალოდ გაკეთოთ ის, რისი გამოთვლაც შეგვიძილა, როდესაც ის მხოლოდ x-ია. მანძილი ამ რაღაციდან ნულამდე ნაკლები უნდა იყოს ორ მთელ 1/2-ზე, მაშ ასე ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ რომ 2r მინუს სამი მთელი 1/4 ნაკლები უნდა იყოს ორ მთელ 1/2-ზე და 2r მინუს სამი მთელი 1/4 მეტი უნდა იყოს უარყოფით ორ მთელ 1/2-ზე. ზუსტად იგივე ლოგიკაა აქ. მოდით დავხაზავ წრფეს, რომ არ დაიბნეთ. ზუსტად იგივე ლოგიკაა აქ. ეს რაოდენობა, აი აქ, უნდა იყოს უარყოფით ორ მთელ 1/2-ს შორის–– ის უარყოფით ორ მთელ 1/2-ზე მეტი უნდა იყოს აი აქ და ორ მთელ 1/2-ზე ნაკლები უნდა იყოს, ეს ყველაფერი ჩავწერე. ამოვხსნათ თითოეული უტოლობა. პირველი წავიდა აქ, მე უკვე გასწავლეთ რომ არ მიყვარს არაწესიერი წილადები და ბოდიში, არ მიყვარს შერეული რიცხვები. მოდით მოვიშორო ეს წილადები. არ მიყვარს შერეული რიცხვები. მოდით ისინი არაწესიერ წილადებად გადავაქციოთ. ხელახლა რომ დამეწერა, მივიღებდით: 2r–ს მინუს სამი მთელი 1/4 იგივეა, რაც სამჯერ ოთხი არის 12, პლიუს ერთი არის 13. 2r მინუს 13/4 ნაკლებია -- ორჯერ ორი არის ოთხი, პლიუს ერთი არის ხუთი-- ნაკლებია 5/2-ზე. ეს არის პირველი განტოლება. მეორე განტოლება -- აქაც იგივე ხდება -- ჩვენ გვაქვს 2r მინუს 13/4 უფრო დიდი უნდა იყოს ვიდრე უარყოფითი 5/2. ძალიან კარგი, ახლა მოდით ამოვხსნათ თითოეული ეს უტოლობა. წილადების თავიდან მოსაშორებლად ყველაზე მარტივი გზა არის განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ოთხზე. ეს მოქმედება წილადებს თავიდან მოგვაშორებს. გავაკეთოთ. მოდით გავამრავლოთ -- მარცხენა მხარეს ოდნავ დავხრი -- გვამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ოთხზე. რას მივიღებთ? ოთხჯერ 2r არის 8r, ოთხჯერ უარყოფითი 13/4 არის უარყოფითი 13, ნაკლებია ვიდრე -- დადებით რიცხვზე გავამრავლე, ასე რომ არ ვიდარდებ უტოლობის შეცვლაზე -- ნაკლებია ათზე, 5/2 გამრავლებული ოთხზე არის ათი, ხომ მართალია? მივიღეთ ორი და ერთი, ეს არის ათი. მივიღეთ, რომ 8r-ს მინუს 13 ნაკლებია ათზე. ახლა მეშემიძლია დავუმატო 13 უტოლობის ორივე მხარეს, ასე რომ ჩვენ თავიდან მოვიშორებთ მარცხენა მხარეს. ორივე მხარეს დავუმატოთ 13 და მივიღეთ 8r -- ეს რიცხვები შეიკვეცება 8r ნაკლებია 23, და ორივე მხარე გავყოთ რვაზე. კიდევ ერთხელ, ჩვენ არ უნდა ვიდარდოთ უტოლობაზე, რადგან დადებით რიცხვზე ვყოფთ. მივიღეთ r ნაკლებია 23/8 -ზე. ან თუკი შენ მისი ჩაწერა შერეულ რიცხვად გინდათ, ეს იქნება ორი მთელი 7/8. ეს არის ერთი პირობა, მაგრამ ჩვენ მეორე პირობაც გვაქვს. აი ეს. მოდით ვიმსჯელოთ და ამოვხსნათ. მეორე პირობა გვეუბნება, რომ 2r მინუს 13/4 მეტია უარყოფით 5/2-ზე. მოდით გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ოთხზე. ამგვარად, ოთხჯერ 2r არის 8r. ოთხჯერ უარყოფთი 13/4 არის უარყოფითი 13 -- მეტია უარყოფით ათზე, უარყოფითი 5/2 გამრავლებული ოთხზე არის უარყოფითი ათი. ახლა განტოლების ორივე მხარეს დავუმატოთ 13. მარცხენა მხარეს ეს რიცხვები შეიკვეცება, მიიღებთ 8r მეტია: უარყოფით ათს პლიუს 13 არის სამი. ორივე მხარე გავყოთ რვაზე და დაგვრჩება r მეტია 3/8-ზე. ამგვარად, ჩვენი ორი პირობაა: r უნდა იყოს ორ მთელ 7/8 -ზე ნაკლები და 3/8–ზე მეტი. შეგვიძლია ჩავწერ შემდეგნაირად: r მეტია 3/8-ზე, ეს არის მეტობა, მე შემიძლია ვთქვა 3/8 ნაკლებია r-ზე, რომელიც ნაკლებია ორ მთელ 7/8-ზე. მაშ ასე, რიცხვით წრფეზე აღვნიშნოთ. ეს არის რიცხვითი წრფე -- ეს არის ნული აი აქ, ეს იქნება 1,2, და 3. ჩვენ გვაქვს ორი მთელი 7/8. ჩვენი ამონახსენი ნაკლები უნდა იყოს ორ მთელი 7/8-ზე. მოდით ვთქვათ რომ ეს არის ორი მთელი 7/8 აი აქ. და ამონახსენი უნდა იყოს 3/8-ზე მეტი. ვთქვათ, რომ ეს არის 3/8, ამგვარად 3/8 იქნება სადღაც აი აქ. მათ შორის ყველა რიცხვი არის სწორი ამონახსენია. შევამოწმოთ ეს. მოდით შევამოწმოთ დახაზულიდან გამომდინარე. ერთი უნდა იყოს სწორი პასუხი. მოდით შევამოწმოთ. ორჯერ ერთს მინუს სამი მთელი1/4 რამდენია? ეს არის ორსს მინუს სამი მთელი1/4 . და რა არის ეს? ორს მინუს სამი მთელი1/4 არის -- სამ მთელ 1/4-ს მინუს ორი არის ერთი მთელი 1/4, ამგვარად ეს იქნება მინუს ერთი მთელი1/4. ჩვენ მისი მოდული უნდა ავიღოთ, ამიტომ ჩვენ გამოვთვალოთ მისი მოდული, რომელიც ერთი მთელი 1/4-ის ტოლია და მართლაც, ორ მთელ 1/2–ზე ნაკლებია. მოდით სხვა რიცხვი ვცადოთ. ვცადოთ ნული. ნული არასწორი პასუხი უნდა იყოს. რა მოხდება თუკი ჩვენ აქ ჩავსვამთ ნულს? მივიღებთ: ორჯერ ნულს მინუს სამ მთელ 1/4-ს. მინუს სამი მთელი 1/4–ის მოდულის აღებისას მიიღებთ სამ მთელ 1/4-ს, რაც არ გვაწყობს. სამი მთელი 1/4 მეტია ორ მთელ 1/2-ზე, ამგვარად სწორად გავაკეთეთ, მუშაობს. იგივე გავაკეთოთ სამითვის. ორჯერ სამი არის ექვსი, მინუს სამი მთელი 1/2 არის ორი მთელი 3/4. მისი მოდული არის ორი მთელი 3/4, ეს ისევ მეტია ორ მთელ 1/2-ზე. ეს პასუხი არ გვაწყობს. ჩვენ მიერ ნაცადი რიცხვები ამტკიცებენ, ნაპოვნი ამონახსნების სისწორეს.