მოქმედებების თანმიმდევრობა: შესავალი

ამ ვიდეოში ცოტას ვისაუბრებთ მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. მინდა, ყურადღებით უყუროთ, რადგან აბსოლუტურად ყველაფერი, რასაც ამის შემდეგ მათემატიკაში იზამთ იმაზე იქნება დამოკიდებული, თუ რამდენად კარგად იცით მოქმედებების თანმიმდევრობა. რა იგულისხმება მოქმედებების თანმიმდევრობაში? განვიხილოთ მაგალითი. მთელი აზრი ისაა, რომ მათემატიკურ ჩანაწერს მხოლოდ ერთი სახის ინტერპრეტაცია შეიძლება მიეცეს. ვთქვათ, გვაქვს ასეთი მათემატიკური ჩანაწერი: შვიდს პლუს სამი გამრავლებული ხუთზე. შეთანხმება რომ არ არსებობდეს მოქმედებების ჩატარების თანმიმდევრობაზე, ამ მაგალითის ორნაირად გაკეთება იქნებოდა შესაძლებელი. შეგიძლიათ, მარცხნიდან მარჯვნივ წაიკითხოთ. შეგვიძლია, ვთქვათ -- "7 + 3"-ს დავწერ -- შეგვიძლია, ჯერ შვიდს სამი მივუმატოთ და შედეგი გავამრავლოთ ხუთზე, შვიდს პლუს სამი უდრის ათს ამას ვამრავლებთ ხუთზე ათი გამრავლებული ხუთზე უდრის 50-ს. ეს ერთი ინტერპრეტაციაა მოქმედებების თანმიმდევრობაზე შეთანხმების გარეშე ალბათ ბუნებრივიცაა, მარცხნიდან მარჯვნივ.. მეორე ინტერპრეტაცია ასეთია: შეიძლება, გვერჩივნოს ჯერ გამრავლება და შემდეგ შეკრება მაშინ მოვიქცეოდით ასე -- ფერებით განვასხვავებ -- ჯერ სამჯერ ხუთს ვაკეთებთ შვიდს პლუს სამჯერ ხუთი იგივეა რაც -- სამჯერ ხუთი უდრის 15-ს -- შვიდს პლუს 15 არის 22. ერთ ჩანაწერს ორი სხვადასხვა ინტერპრეტაცია მივეცით, პირველად მარცხინდან მარჯვნივ გავუყევით, ჯერ შევკრიბეთ, შემდეგ გავამრავლეთ, მეორე გზით კი ჯერ გავამრავლეთ და შემდეგ შევკრიბეთ. მივიღეთ სხვადასხვა პასუხი. ეს მათემატიკაში დაუშვებელია. ეს გამოთვლა რომ მთვარეზე თანამგზავრის გაშვებაში მონაწილეობდეს, ორი ადამიანის სხვადასხვა ინტერპრეტაციის გამო, ან ორი კომპიუტერის მიერ სხვადასხვა გზით ამოხსნის გამო შეიძლება თანამგზავრი მარსზე აღმოჩნდეს! ეს აბსოლუტურად დაუშვებელია, სწორედ ამიტომ, არსებობს მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა. შეთანხმებული გზა ჩანაწერის ინტერპრეტაციისთვის. შეთანხმების მიხედვით, პირველად სრულდება ის მოქმედება, რომელიც ფრჩხილებშია. -- აქ დავწერ -- ჯერ ფრჩხილები. შემდეგ სრულდება მოქმედებები ხარისხებზე. თუ არ იცით, რა არის ხარისხები, ამაზე ახლა ნუ ინერვიულებთ. ამ ვიდეოში ხარისხების მაგალითები არ იქნება. ასე რომ, ამ ვიდეოში ნუ აღელდებით. შემდეგი მოქმედებაა გამრავლება -- შემდეგი მოქმედებებია გამრავლება და გაყოფა, მათ თანაბარი პრიორიტეტი აქვთ და ბოლოს სრულდება შეკრება და გამოკლება. ესე იგი, რა არის მოქმედებების თანმიმდევრობა? მოვნიშნავ -- აი, ეს, ეს არის შეთანხმებული თანმიმდევრობა მოქმედებების შესრულების და თუ ამ თანმიმდევრობას მივყვებით, ყოველთვის ერთნარ პასუხს მივიღებთ რას გვეუბნება ეს? რომელია უმჯობესი გზა ამისი ინტერპრეტირების? ფრჩხილები არ გვაქვს, ფრჩხილები ასე გამოიყურება, ეს მოხრილი რაღაცებია რიცხვებს გარშემო. ჩვენ აქ ფრჩხილები არ გვაქვს -- ფრჩხლებიან მაგალითებსაც გავაკეთებთ. აქ არც ხარისხებია. მაგრამ ჩვენ გვაქვს გამრავლება და გაყოფა უფრო სწორედ, გვაქვს გამრავლება. მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ უნდა შევასრულოთ გამრავლება. ჯერ ვასრულებთ გამრავლებას. გამრავლება ესაა. ჯერ ამ მოქმედებას ვასრულებთ. მას უფრო მეტი პრიორიტეტი აქვს, ვიდრე შეკრებას. თუ ჯერ ამას შევასრულებთ, გვექნება ხუთჯერ სამი, რაც 15-ია, შემდეგ კი მივუმატებთ შვიდს. შეკრება-გამოკლება -- ამას აქ გავაკეთებ, გვაქვს მხოლოდ შეკრება. ჯერ შევასრულეთ გამრავლება და მივიღეთ 15, შემდეგ მივუმატეთ შვიდი და მივიღეთ 22. მოქმედებების შესრულების შეთანხმებული თანმიმდევრობის მიხედვით, ეს უნდა იყოს სწორი პასუხი -- სწორი გზა ჩანაწერის ინტერპრეტირების. სხვა მაგალითი გავაკეთოთ. მგონი ეს რაღაცებს უფრო გაამარტივებს. ამ მაგალითს ვარდისფრად გავაკეთებ. ვთქვათ, გვაქვს შვიდს პლუს სამი -- ფრჩხილებში ჩავსვათ -- გამრავლებული ოთხზე, გაყოფილი ორზე, მინუს ხუთი გამრავლებული ექვსზე. აქ ათასი სიგიჟე და არეულობაა, მაგრამ თუ მოქმედებების თანმიმდევრობას მივყვებით, მაშინ ამას ძალიან ადვილად გავამარტივებთ და იმედია, ყველა ერთ პასუხს მივიღებთ. მივყვეთ მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობას. პირველ რიგში ვასრულებთ მოქმედებას ფრჩხილებში. არის აქ ფრჩხილები? არის! ფრჩხილები არის შვიდს პლუს სამის გარშემო. პირველ რიგში, ვაკეთებთ ამას. შვიდს პლუს სამი არის ათი. ამისი გამარტივება შეგვიძლია -- საკმარისია, შევხედოთ თანმიმდევრობას -- ეს ყველაფერი გამრავლებული ათზე -- პირდაპირ გადმოვიტან, ერთი და იგივე რომ არ ვწერო -- გადმომაქვვს... -- ეს მარტივდება ასე: ათი გამრავლებული ამ ყველაფერზე -- ჯერ გავაკეთეთ მოქმედება ფრჩხილებში. შემდეგ რას ვაკეთებთ? მეტი ფრჩხილი ამ გამოსახულებაში არაა. შემდეგია ხარისხები. აქ ხარიხსები არ ჩანს. თუ მაინც გაინტერესებთ, როგორ გამოიყურება ხარისხი, -- მაგალითად, შვიდი კვადრატში -- ეს პატარა რიცხვებია მარჯვნივ ზემოთ. აქ ხარისხები არ გვაქვს, ნუ ვიღელვებთ. შემდეგ ვასრულებთ გამრავლებასა და გაყოფას. ვასრულებთ გამრავლებას -- გვაქვს გამრავლება, გაყოფა და ისევ გამრავლება. როცა რამდენიმე მოქმედება ერთი დონისაა, -- ჩვენს თანმიმდევრობაში კი გამრავლება და გაყოფა თანაბარი პრიორიტეტისაა -- ვკითხულობთ მარცხნიდან მარჯვნივ ამ შემთხვევაში ვამრავლებთ ოთხზე და შემდეგ ვყოფთ ორზე. არ ვამრავლებთ ოთხის ორთან შეფარდებაზე. შემდეგ ვაკეთებთ ხუთჯერ ექვსს, სანამ გამოკლებას გავაკეთებთ ახლა გამოვთვალოთ, რას უდრის ეს. ჯერ გამრავლებას ვასრულებთ. გამრავლებები ერთდროულადაც შეიძლება შესრულდეს, რადგან ეს არაფერს შეცვლის, მაგრამ რამდენიმე ნაბიჯ-ნაბიჯ გავაკეთოთ. შემდეგი მოქმედება იქნება ათჯერ ოთხი, ათჯერ ოთხი არის 40. შემდეგ გვაქვს 40 გაყოფილი ორზე -- ამ ყველაფერს გადმოვაკოპირებ -- ეს ყველაფერი ასე მარტივდება. გახსოვდეთ, გამრავლება და გაყოფა თანაბარი პრიორიტეტისაა გავუყვებით მარცხნიდან მარჯვნივ. შეგვიძლია ამისი წარმოჩენა, როგორც 1/2-ზე ნამრავლის, თანმიმდევრობას კი მნიშვნელობა არ ექნება. სიმარტივისთვის, გამრავლება-გაყოფა მარცხნიდან მარჯვნივ სრულდება. გვაქვს 40 შეფარდებული ორთან, მინუს ხუთი, გამრავლებული ექვსზე. მხოლოდ ერთი გაყოფაა. გვაქვს გაყოფა და გამრავლება. ერთად არაა. შეგვიძლია მათი ერთდროულად გაკეთება. იმის ხაზგასასმელად, რომ მათ გამოკლებამდე ვასრულებთ, -- რადგან გამრავლება/გაყოფა უფრო პრიორიტეტულია -- ჩავსვათ ისინი ფრჩხილებში. ანუ ვაკეთებთ ჯერ ამას და ამას, სანამ შევასრულებთ გამოკლებას. რადგან გამრავლებასა და გაყოფას მეტი პრიორიტეტი აქვთ. 40 შეფარდებული ორთან არის 20. აქ მინუს ნიშანი გვაქვს. ხუთჯერ ექვსი უდრის 30-ს. 20-ს მინუს 30 უდრის მინუს ათს. ამ ჩანაწერის სწორი ინტერპრეტაცია სწორედ ესაა. მინდა ეს ძალიან, ძალიან ნათელი იყოს: თუ გაქვთ თანაბარი პრიორიტეტის მოქმედებები, მაგალითად 1 +2 - 3 + 4 - 1 რადგან მოქმედებების თანმიმდევრობაში მიმატება-გამოკლება თანაბარუფლებიანია, უნდა გავყვეთ მარცხნიდან მარჯვნივ ამას ინტერპრეტაცია უნდა მივცეთ, როგორც ერთს პლუს ორი უდრის სამს, ესე იგი, ეს იგივეა, რაც 3 - 3 + 4 - 1, შემდეგ სამს ვაკლებთ სამს, რაც არის ნული, ვუმატებთ ოთხს და ვაკლებთ ერთს, ეს იგივეა, რაც ოთხს მინუს ერთი რაც იგივეა, რაც სამი. -- უბრალოდ გავყევით მარცხნიდან მარჯვნივ. იგივეა გამრავლება-გაყოფის შემთხვევაშიც, თანაბარი პრიორიტეტები. თუ გვაქვს ოთხჯერ ორი გაყოფილი სამზე გამრავლებული ორზე, ჯერ ოთხს ვამრავლებთ ორზე, რაც რვა არის, გაყოფილი სამზე, გამრავლებული ორზე რვა გაყოფილი სამზე -- ეს უბრალოდ წილადია, ანუ, იქნება 8/3. ესე იგი, 8/3 გამრავლებული ორზე. 8/3 გამრავლებული ორზე არის 16/3. ამ შემთხვევაში ინტერპრეტაცია ასეთია, თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს, შეგვიძლია ნებისმიერი თანმიმდევრობა ავირჩიოთ, თანაბარი დონის მოქმედებებია. თუ ყველა მოქმედება, მაგალითად, შეკრებაა, ან გამრავლება ვთქვათ გვაქვს 1 + 5 + 7 + 3 + 2, მაშინ თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. შეგვიძლია სამი მივუმატოთ, მარჯვნიდან მარცხნივ გავყვეთ, მარცხნიდან მარჯვნივ, დავიწყოთ შუიდან.. აქ მხოლოდ შეკრებაა ეს ასევე ჭეშმარიტია მხოლოდ გამრავლებისთვის, 1 x 5 x 7 x 3 x 2 მოქმედებების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. ეს მაშინ, როცა მხოლოდ შეკრება ან მხოლოდ გამრავლებაა. როცა გაყოფა ან სხვაობა ურევია, სასურველია მოქმედებების მარცხნიდან მარჯვნივ შესრულება.