If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა
მიმდინარე დრო:0:00მთლიანი ხანგრძლივობა:6:06

ვიდეოს აღწერა

ბობმა რაღაც ძალიან საინტერესო აღმოაჩინა ფერადი საყურეების კეთებისას საკუთარი მაღაზიისთვის. მის კლიენტებს უყვართ მრავალფეროვნება. ამიტომ მან გადაწყვიტა გაეკეთებინა ყველა შესაძლო დიზაინი ყოველი ზომისთვის. მან მესამე ზომით დაიწყო და გადაწყვიტა გაერკვია ყველა შესაძლო ვარიანტი. ყოველი საყურის კეთება იწყება მძივების დამწკრივებით. შემდეგ კი ბოლოები ერთდებიან და რგოლს ქმნიან. ჯერ, რამდენი შესაძლო ვარიანტია ამ მწკრივების? ორი ფერით და სამი მძივით, არის 3 არჩევანი თითოეული ფერისთვის. შესაბამისად 2-ჯერ 2-ჯერ 2 უდრის 8 შესაძლო უნიკალურ მწკრივს. შემდეგ ის გამორიცხავს ერთფეროვან მწკრივებს, რადგან მხოლოდ მრავალფეროვანი საყურეები სჭირდება. შემდეგ კი ერთმანეთს აწებებს, რომ მიიღოს რგოლები. იგი ფიქრობდა რომ საბოლოოდ 6 განსხვავებულ საყურეს მიიღებდა, მაგრამ რაღაც მოხდა. მას აღარ შეეძლო უმრავლესობის ერთმანეთისგან გარცევა. აღმოჩნდა რომ მხოლოდ 2 დიზაინის საყურე დარჩა იმიტომ, რომ ყოველი ვარიანტი ახლა ჯგუფის წევრია კიდევ 2 იდენტურ ცალთან ერთად. შენიშნეთ რომ ყოველთვის შეგიძლიათ ერთმანეთს დაამთხვიოთ მობრუნებით. ამ ჯგუფების ზომა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენი მობრუნებაა საჭირო, რომ თავდაპირველ მდგომარეობას დაუბრუნდეს. ანუ, რამდენი მობრუნებაა საჭირო ციკლის დასასრულებლად. ეს ნიშნავს რომ თავდაპირველი მწრივების ჯგუფი ტოლად იყოფა ორ, 3 წევრიან ჯგუფად. სხვა ზომის ჯგუფებშიც იგივე იქნება? ეს მოსახერხებელი იქნება, რადგან მას ყოველთვის უნდა ერთი და იმავე ოდენობის ყველა ვარიანტი. ახლა ის ცდილობს 4 ცალი მძივით. ჯერ აგებს ყველა შესაძლო მწკრივს. 4 მძივი რომელსაც 2 სხვადასხვა ფერით ადგენს. შესაბამისად, გამოვა 2-ჯერ 2-ჯერ 2-ჯერ 2 ანუ 16. შემდეგ გამორიცხავს 2 ერთფეროვან მწკრივს და აწებებს დარჩენილებს რომ მიიღოს რგოლები. ახლაც ტოლი რაოდენობით დაიყოფიან? აღმოჩნდა რომ არა. რა მოხდა? შენიშნეთ, თუ როგორ იყოფიან თავდაპირველი მწკრივები. თუ მწკრივები ერთი სტილისაა, ეს ნიშნავს რომ ერთით მეორის მიღება შეგვიძლია მძივის ბოლოდან თავში გადატანით. და მხოლოდ ერთი სტილია, რომელშიც 2 წევრია. ეს იმით არის გამოწვეული, რომ ისინი აგებულია განმეორებადი ორ ერთეულიანი ნაწილით. ანუ მხოლოდ 2 მობრუნებაა საჭირო ციკლის დასასრულებლად. ამიტომაც, ამ ჯგუფში მხოლოდ 2 წევრია. მას არ შეუძლია მათი გაყოფა ტოლ წევრიან ვარიანტებად. რა მოხდება მეხუთე ზომაში? დაიყოფიან ისინი ტოლ წევრიან განსხვავებულ სტილებად? უცებ ის აცნობიერებს, რომ მას არც კი სჭირდება მათი დამწკრივება ამის გასაგებად. ასეც უნდა იყოს, რადგან 5-ს ვერ დაყოფ განმეორებად ნაწილებად. იმიტომ, რომ 5 ტოლ ნაწილებად ვერ დაიყოფა. ის მარტივი რიცხვია. მნიშვნელობა არ აქვს რა სახის მრავალფეროვანი მწკრივით დავიწყებთ, ყოველთვის 5 მობრუნება დასჭირდება, რომ თავდაპირველ მდგომარეობას დაუბრუნდეს. ყოველი მწკრივის ციკლის სიგრძე 5-ის ტოლი უნდა იყოს. მოდი, შევამოწმოთ. ჯერ ავაწყოთ ყველა შესაძლო მწკრივი. გამოვრიცხოთ ერთფეროვანი მწკრივები. დავყოთ მწრკივები ჯგუფებად სტილების მიხედვით და მივაწებოთ ერთმანეთს თითო-თითო ყოველი სტილიდან. შენიშნეთ, ყოველ საყურეს ზუსტად 5 მობრუნება სჭირდება, რომ ციკლი დაასრულოს. შესაბამისად თუ დავაწებებდით ყველა მწკრივს, ისინი გაიყოფოდნენ ტოლ, 5 წევრებიან ჯგუფებად. შემდეგ ის მაინც აგრძელებს. ამჯამად ის იყენებს მხოლოდ 2 ფერს, მაგრამ ის აცნობიერებს, რომ კანონზომიერება ფერების ნებისმიერი რაოდენობის შემთხვევაშიც იგივე დარჩება. იმიტომ, რომ ნებისმიერი მრავალფეროვან საყურეს, რომელიც მარტივ, p წევრის ოდენობის მძივებისგან შედგება, p მობრუნებიანი ციკლი ექნება. რადგანაც მარტივი რიცხვები ტოლ ნაწილებად ვერ დაიყოფიან. მაგრამ თუ შედგენილი რიცხვის ოდენობისგან მძივებს გამოვიყენებთ, მაგალითად 6, გვექნება მწკრივები, რომელთა ციკლების უფრო მოკლეა, რადგანაც ისინი განმეორებადი ერთეულებისგან შედგებიან და შექმნიან უფრო მცირე ჯგუფებს. გასაკვირია მაგრამ, ბობმა ფერმას მცირე თეორემა აღმოაჩინა. მოცემულია a რაოდენობის ფერები და p სიგრძის მწკრივები, p მარტივია. შესაძლო მწკრივების რაოდენობა არის a ხარისხად p. როდესაც, იგი აშორებს ერთფეროვან მწკრივებს, ის აკლებს ზუსტად a ოდენობის მწკრივებს, რადგანაც თითოა ყოველი ფერის. გვრჩება a ხარისხად p გამოკლებული a რაოდენობის მწრივი. როდესაც ის აწებებს ამ მწრივებს ისინი დაიყოფიან p წევრებიან ჯგუფებად, რადგანაც ყოველ საყურეს p სიგრძის ციკლი აქვს. შესაბამისად a ხარისხად p-ს გამოკლებული a იყოფა p-ზე. ჩვენ შეგვიძლია ეს მტკიცება მოდალურ არითმეტიკაშიც გამოვსახოთ. თუ გაყოფ a ხარისხად p-ს p-ზე, დაგრჩება ნაშთი a . შეგვიძლია ასე დავწეროთ a ხარისხად p უდრის a mod p-ს. ჩვენ აღმოვაჩინეთ ერთ-ერთი ფუნდამენტალური რეზულტატი რიცხვთა თეორიაში მძივებთან თამაშისას.